Bài tập 10, § 1

Cho $m$ là một số nguyên $>0$, $\mathbf{S}$ là đại số phân bậc $k[X_1,\ldots,X_m]$, và $a_1,\ldots,a_m$ là các phần tử của $k^*$. Cho $\Phi=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{m}a_{ij}X_iX_j$ là một dạng toàn phương; đặt

trong đó $(b_{ij})$ là ma trận nghịch đảo của $(a_{ij})$. a) Chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc $\mathfrak{s}$-môđun duy nhất trên $\mathbf{S}$ sao cho $X_+f=$ $\frac{1}{2}D(f), X_-f=\frac{1}{2}\Phi f$ và $Hf=-(m/2 +n)f$ nếu $f$ thuần nhất bậc $n$. b) Đặt $A^n=\mathbf{S}^n\cap$ Ker(D). Chứng minh rằng $\mathbf{S}^n$ là tổng trực tiếp của các không gian con $\Phi^p.A^q$ với $2p+q=n$. Suy ra đẳng thức

$\sum_{n=0}^{\infty}$ dim(A$^n$)$T^n= (1 + T)/(1-T)^{m-1}$.

c) Nếu $f$ là một phần tử khác không của $A^n$, thì các $\Phi^pf,p\geq 0$, lập thành một cơ sở của một môđun con $\mathfrak{s}$ đơn của $\mathbf{S}$, đẳng cấu với môđun $Z(-\frac{m}{2}-n)$ của Bài tập 2.

d) Làm tường minh các trường hợp $m= 1$ và $m= 2$. Dùng trường hợp $m= 3$ để tìm lại các kết quả của Bài tập 9.