Bài tập 12, § 1

Cho $q\in k$, và cho W là một không gian vectơ với cơ sở $(e_0, e_1, e_2, . . .)$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một biểu diễn duy nhất $\rho_q$ của $\mathfrak{s}$ trên W sao cho

2

Ta có $\rho_q(C) = 4q$, trong đó $C =H^2+ 2H-4X_-X_+$ (xem Bài tập 1). Biểu diễn $\rho_q$ là đơn. Các phần tử $x\in \mathfrak{s}$ sao cho $\rho_q(x)$ nhận một trị riêng là các bội của $X_+$. Tự đồng cấu $\rho_q(X_+)$ nhận 1 làm trị riêng, với bội số 1.

b) Cho $\rho$ là một biểu diễn đơn của $\mathfrak{s}$ sao cho $\rho (C) = 4q$ và sao cho $\rho (X_+)$ có 1 làm trị riêng. Chứng minh rằng $\rho$ tương đương với $\rho_q$.