Bài tập 14, § 1

Các ký hiệu là các ký hiệu của bài tập trước. Ký hiệu $B_q$ là thương của $U(\mathfrak{s})$ theo iđêan hai phía sinh bởi $C-4q$, và ký hiệu $u \rightarrow u^{\bullet}$ là ánh xạ chính tắc $U(\mathfrak{s})\rightarrow B_q$. Xét các biểu diễn của Bài tập 12 và 13 như các biểu diễn của $B_q$.

a) Mọi phần tử của $B_q$ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng

trong đó $p_r$ và $q_s$ là các đa thức. Nếu hai phần tử của $B_q$ sinh cùng một iđêan trái, thì chúng tỉ lệ với nhau. b) Xét trường hợp b) của Bài tập 13. Cho $a$ là một phần tử khác không của $S_{v,q}$. Nếu $a$ là một vectơ riêng của $\rho_{v,q}(H)$, với trị riêng $\lambda$, linh hóa tử của $a$ trong $B_q$ là iđêan trái sinh bởi $H^{\bullet}-\lambda$; nếu $a$ không là một vectơ riêng của $\rho_{v,q}(H)$, linh hóa tử của nó là một iđêan trái không đơn sinh.

c) Xét trường hợp của các biểu diễn $\rho^{\pm}_{v,q}$ của Bài tập 13. Nếu $a$ là một phần tử khác không của không gian của một biểu diễn như vậy, linh hóa tử của nó trong $B_q$ là một iđêan trái không đơn sinh.

d) Xét biểu diễn $\rho_q$ của Bài tập 12. Linh hóa tử của $e_0$ trong $B_q$ được sinh bởi $X_+^{\bullet}-1$. Nếu $a\in W$ không tỉ lệ với $e_0$, linh hóa tử của nó là một iđêan trái không đơn sinh.

e) Mọi tự đẳng cấu của $\mathfrak{s}$ mở rộng thành một tự đẳng cấu của $U(\mathfrak{s})$ và xác định qua phép lấy thương một tự đẳng cấu của $B_q$; gọi $A'$ là nhóm con của A = Aut(B$_q$) thu được như vậy. Chứng minh rằng $A'\not= A$. (Gọi $\varphi$ là tự đồng cấu $x \rightarrow [X_+^{\bullet 2}, x]$ của $B_q$; tự đồng cấu này lũy linh địa phương, và $e^{\varphi}\in A, e^{\varphi}\notin A'.$)

f) Nhóm A tác động bằng phép chuyển cấu trúc trên tập hợp các lớp của các biểu diễn đơn của $B_q$. Cho $\pi_1$ (tương ứng $\pi_2, \pi_3$) là một biểu diễn kiểu $\rho_{v,q}$ của Bài tập. $13b)$ (tương ứng kiểu $\rho^{\pm}_{v,q}$ của Bài tập. 13, tương ứng kiểu $\rho_q$ của Bài tập. 12). Khi đó $A\pi_1,A\pi_2$ và $A\pi_3$ rời nhau từng đôi một. (Dùng $a$)$,b),c),d).)$ Nếu $\psi \in A$ là sao cho $\psi \pi_1$ là kiểu $\rho_{v,q}$ của Bài tập. $13b)$, thì $\psi \in A'$ (dùng $a$) và $b))$. Suy ra rằng, nếu $\psi$ là tự đẳng cấu $e^{\varphi}$ của e), biểu diễn $\sigma =\pi_1\circ \psi$ có tính chất sau: với mọi $x\in \mathfrak{s}$-- $\{0\},\sigma (x)$ không có trị riêng.$^8$