Bài tập 17, § 1

Giữ các ký hiệu của bài tập trước. Chứng tỏ rằng, với mọi $n\geq 1$, đại số $U(\mathfrak{g})$ có một iđêan hai phía duy nhất $\mathfrak{m}_n$ sao cho $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ là một đại số đơn tâm có chiều $n^2$ (mở rộng vô hướng để rút gọn về trường hợp trong đó $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$ và chứng tỏ rằng khi đó $\mathfrak{m}_n$ là hạt nhân của đồng cấu $U(\mathfrak{g})\rightarrow$ End(V($n-1$))). Mọi iđêan hai phía của $U(\mathfrak{g})$ có đối chiều hữu hạn đều có dạng $\mathfrak{m}_{n_1}\cap \mathfrak{m}_{n_2}\cap \cdots \cap \mathfrak{m}_{n_h}$, trong đó $n_1, . . . , n_h$ phân biệt; đối chiều của nó là $n^2_1+\cdots +n^2_h$ (áp dụng định lý mật độ). Các $\mathfrak{m}_n$ là những iđêan hai phía cực đại duy nhất của $U(\mathfrak{g})$ có đối chiều hữu hạn.

Chứng tỏ rằng $\mathfrak{m}_2$ được sinh (như một iđêan hai phía) bởi các phần tử $x^2-\frac{1}{8}\Phi (x, x) (x\in \mathfrak{g})$, và rằng thương $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_2$ có thể được đồng nhất với đại số quaternion A của Bài tập 16.

Khi $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với $\mathfrak{s}, U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ đẳng cấu với $\mathbf{M}_n(k)$. Chứng tỏ rằng, khi $\mathfrak{g}$ không đẳng cấu với $\mathfrak{s}, U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ đẳng cấu với $\mathbf{M}_n(k)$ khi và chỉ khi $n$ lẻ (dùng Bài tập $16g$)$).^9$

$^9$ Có thể chứng tỏ rằng, khi $n$ chẵn, $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ đẳng cấu với $\mathbf{M}_{n/2}(A)$.