Bài tập 4, § 1

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie. Một $A\mathfrak{g}$-môđun E được gọi là hữu hạn địa phương nếu nó là hợp của các $\mathfrak{g}$-môđun con hữu hạn chiều; tương đương, mọi $\mathfrak{g}$-môđun con của E có kiểu hữu hạn (với tư cách là một $U(\mathfrak{g}$)-môđun) đều có chiều hữu hạn.

a) Cho $0\rightarrow E'\rightarrow E\rightarrow E''\rightarrow 0$ là một dãy khớp của các $\mathfrak{g}$-môđun. Chứng minh rằng, nếu $E'$ và $E''$ là hữu hạn địa phương, thì E cũng vậy (rút gọn về trường hợp E có kiểu hữu hạn, và dùng sự kiện rằng $U(\mathfrak{g})$ là Noether, xem Chương I, §2, no. 6).

b) Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn. Chứng minh rằng E là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi E là một tổng trực tiếp của các $\mathfrak{g}$-môđun đơn hữu hạn chiều.

c) Giả sử rằng $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$. Chứng minh rằng E là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

$c_1) E$ có một cơ sở gồm các vectơ riêng của H,

$c_2)$ các tự đồng cấu $X_{+E}$ và $X_{-E}$ là lũy linh địa phương.

(Bắt đầu bằng cách chứng minh rằng, nếu E thỏa mãn $c_1$) và $c_2)$, và không rút gọn về 0, thì nó chứa một phần tử nguyên thủy $e$ có trọng số số nguyên $m\geq 0$; tiếp theo chứng minh rằng $X^{m+1}e= 0$, và do đó E chứa $V(m)$. Kết luận bằng cách áp dụng a) cho môđun con hữu hạn địa phương lớn nhất $E'$ của E.)