Bài tập 9, § 1

Xét phép toán của $\mathfrak{s}$, qua biểu diễn liên hợp, trên đại số bao của nó $U$ và trên đại số đối xứng của nó $\mathbf{S}=\bigoplus S^n$.

a) Xác định các trọng số của $\mathfrak{s}$-môđun $\mathbf{S}^n$. Suy ra các đẳng cấu sau của các $\mathfrak{s}$-môđun:

Đặc biệt, các phần tử của $\mathbf{S}^n$ bất biến dưới $\mathfrak{s}$ tạo thành một không gian có chiều $1$ (tương ứng $0$) nếu $n$ chẵn (tương ứng lẻ).

b) Chứng minh rằng đại số con của $\mathbf{S}$ gồm các phần tử bất biến dưới $\mathfrak{s}$ là đại số đa thức $k[\Gamma]$, trong đó $\Gamma=H^2-4X_-X_+$. Môđun $\mathbf{S}^n/\Gamma.\mathbf{S}^{n-2}$ đẳng cấu với $V(2n)$.

c) Chứng minh rằng tâm của $U$ là đại số đa thức $k[C]$, trong đó $C$ là phần tử được xác định trong Bài tập 1 (dùng $b$) và định lý Poincaré-Birkhoff-Witt).