Bài tập 12, § 11

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn. Cho $x\in \mathfrak{g}$ và cho $s$ (tương ứng $n$) là thành phần nửa đơn (tương ứng lũy linh) của $x$. Gọi $\mathfrak{a}_x$ (tương ứng $\mathfrak{a}_s$) là hoán tập của $x$ (tương ứng của $s$) trong $\mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng $n$ là một phần tử lũy linh của đại số nửa đơn $\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$, và hoán tập của $n$ trong $\mathfrak{a}_s$ bằng $\mathfrak{a}_x$. Suy ra rằng dim$\mathfrak{a}_x<$ dim $\mathfrak{a}_s$ nếu $n\not= 0$, tức là nếu $x$ không nửa đơn.

b) Chứng minh rằng dim$\mathfrak{a}_x=$ rk($\mathfrak{g}$) khi và chỉ khi $n$ là một phần tử lũy linh chính của $\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$.

c) Đặt G = Aut$_e(\mathfrak{g})$. Chứng minh rằng, với mọi $\lambda \in k$, tồn tại $\sigma_{\lambda}\in G$ sao cho $\sigma_{\lambda}x=s+\lambda^2n$. (Chứng minh rằng, nếu $n\not= 0$, thì tồn tại một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong $\mathfrak{a}_s$ mà thành phần thứ nhất là $n$, và suy ra một đồng cấu $\varphi :\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)\rightarrow G$; lấy $\sigma_{\lambda}$ là ảnh qua $\varphi$ của một phần tử đường chéo thích hợp của $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k).$) Suy ra rằng $s$ thuộc bao đóng của $G.x$ trong tôpô Zariski.

d) Chứng minh rằng, nếu $x$ không nửa đơn, thì $x$ không thuộc bao đóng của $G.s$ trong tôpô Zariski (dùng bất đẳng thức dim$\mathfrak{a}_x<$ dim $\mathfrak{a}_s$, xem $a$)$)$.

$^{20}$Để biết thêm chi tiết về các Bài tập 6 đến 11, xem: B. KOSTANT, The principal threedimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group,

Amer. J. Math., Vol. LXXXI (1959), pp. 973-1032. e) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $x$ là nửa đơn;

(ii) $G.x$ đóng trong $\mathfrak{g}$ đối với tôpô Zariski.

(Hàm ý (ii) $=\Rightarrow$ (i) suy ra từ $c$). Nếu (i) được thỏa mãn, và nếu $x'$ ở trong bao đóng của $G.x$, Bài tập 15 của §8 cho thấy rằng thành phần nửa đơn $s'$ của $x'$ thuộc $G.x$, nên $x'$ thuộc bao đóng của $G.s'$; kết luận bằng cách áp dụng d) cho $x'$ và $s'.$)

f) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Gọi $F_x$ là tập hợp các phần tử $y\in \mathfrak{g}$ sao cho $f(x) =f(y)$ đối với mọi hàm đa thức bất biến $f$ trên $\mathfrak{g}$; ta có $y\in F_x$ khi và chỉ khi thành phần nửa đơn của $y$ liên hợp với $s$ bởi G (§8, Bài tập 17). Chứng minh rằng $F_x$ là hợp của một số hữu hạn quỹ đạo của G, và số này là $\leq 3^{l(x)}$, trong đó $l(x)$ là hạng của $\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$. Chỉ một trong các quỹ đạo này là đóng: quỹ đạo của $s$; chỉ một quỹ đạo mở trong $F_x:$ quỹ đạo gồm các phần tử $y\in F_x$ sao cho dim $\mathfrak{a}_y=$ rk($\mathfrak{g}$).