Bài tập 13, § 11

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn.

a) Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ chính trong $\mathfrak{g}$, và cho $\mathfrak{b}$ là đại số con Borel chứa $x$ (Bài tập 7). Hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{b}$ được chứa trong Im ad $x$.

b) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Hãy chỉ ra rằng, với mọi phần tử $z$ trong $\mathfrak{g}$, tồn tại $x, t\in \mathfrak{g}$, với $x$ lũy linh chính, sao cho $z= [x, t]$ (áp dụng $a$) cho một đại số con Borel chứa z).