Bài tập 15, § 11

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn.

a) Cho $x$ là một phần tử lũy linh của $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $x$ được chứa trong Im(ad $x$)$^2$ (dùng Mệnh đề 2). Suy ra rằng (ad $x$)$^2= 0$ kéo theo $x= 0$.

b) Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong $\mathfrak{g}$, và cho $\mathfrak{s}=kx\oplus kh\oplus ky$. Chứng minh tính tương đương của các điều kiện sau:

(i) Im(ad $x$)$^2=k.x$;

(ii) $\mathfrak{s}$-môđun $\mathfrak{g}/\mathfrak{s}$ là một tổng của các môđun đơn có chiều 1 hoặc 2;

(iii) các trị riêng duy nhất của ad$_{\mathfrak{g}}h$ phân biệt với 0, 1 và $-1$ là 2 và $-2$, và bội số của chúng bằng 1.

c) Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là đơn tách được. Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{g}, B$ là một cơ sở của $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$, và $\gamma$ là nghiệm cao nhất của $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ tương ứng với B. Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ sao cho $h\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$ và $\alpha (h)\geq 0$ với mọi $\alpha \in B$ (xem Mệnh đề 5). Chứng minh rằng các điều kiện (i), (ii), (iii) của b) được thỏa mãn khi và chỉ khi $h=H_{\gamma}$, trong trường hợp đó $x\in \mathfrak{g}^{\gamma}$ và $y\in \mathfrak{g}^{-\gamma}$.

d) Giữ các giả thiết của c), và đặt G = Aut$_0(\mathfrak{g})$. Chứng minh rằng các bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ thỏa mãn (i), (ii) và (iii) là liên hợp G (dùng Bài tập 10). Chứng minh rằng, nếu $x$ là một phần tử lũy linh khác không của $\mathfrak{g}$ thỏa mãn (i), thì bao đóng của $G.x$ trong tôpô Zariski bằng $\{0\} \cup G.x$.