Bài tập 4, § 11

Cho $V$ là một không gian vectơ có chiều $n\geqslant2$, $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(V)$ và $G=\mathrm{PGL}(V)$, được đồng nhất với một nhóm các tự đẳng cấu của $\mathfrak g$. Một bộ ba $\mathfrak{sl}_2$ trong $\mathfrak g$ cho $V$ một cấu trúc $\mathfrak{sl}(2,k)$-môđun trung thành, và ngược lại mọi cấu trúc như vậy đều xuất phát từ một bộ ba $\mathfrak{sl}_2$; một bộ ba $\mathfrak{sl}_2$ là chính nếu và chỉ nếu $\mathfrak{sl}(2,k)$-môđun tương ứng là đơn; hai bộ ba $\mathfrak{sl}_2$ là G-liên hợp nếu và chỉ nếu các $\mathfrak{sl}(2,k)$-môđun tương ứng là đẳng cấu. Suy ra rằng các lớp G-liên hợp của các bộ ba $\mathfrak{sl}_2$ tương ứng một-một với các họ $(m_1,m_2,\ldots)$ các số nguyên $\geqslant0$ sao cho