Bài tập 10, § 13

Các ký hiệu là các ký hiệu của no. 4.IV, kiểu $D_l(l\geq 2)$.

a) Cho $x$ và $y$ là các phần tử của $\bigwedge^lV$ được xác định bởi

$x=e_1\wedge \cdots \wedge e_{l-1}\wedge e_l$ và $y=e_1\wedge \cdots \wedge e_{l-1}\wedge e_{-l}$.

Phần tử $x$ là nguyên thủy có trọng số $2\varpi_l$ và $y$ là nguyên thủy có trọng số $2\varpi_{l-1}$. Môđun con X (tương ứng Y) của $\bigwedge^lV$ sinh bởi $x$ (tương ứng $y$) là đẳng cấu với $E(2\varpi_l)$ (tương ứng $E(2\varpi_{l-1})$). Chứng minh, bằng cách tính các chiều, rằng $\bigwedge^lV =$ $X\oplus Y$; đặc biệt, $\bigwedge^lV$ là tổng của hai môđun đơn không đẳng cấu. b) Cho $e=e_1\wedge \cdots \wedge e_l\wedge e_{-1}\wedge \cdots \wedge e_{-l}\in \bigwedge^{2l}V$, và $\Psi_l$ là mở rộng của $\Psi$ đến $\bigwedge^lV$. Cho $z\in \bigwedge^lV$. Chứng minh các tương đương:

$z\in X\Leftarrow \Rightarrow z\wedge t=\Psi_l(z, t)e$ for all $t\in \bigwedge^lV$

$z\in Y\Leftarrow \Rightarrow z\wedge t=-\Psi_l(z, t)e$ for all $t\in \bigwedge^lV$.

(Nếu $X'$ và $Y'$ chỉ các không gian con được xác định bởi các vế phải, trước hết hãy chứng minh rằng $X'$ và $Y'$ ổn định dưới $\mathfrak{g}$ và lần lượt chứa $x$ và $y$.) c) Giả sử rằng $z$ là thuần (Đại số, Chap. III, §11, no. 13), và ký hiệu $M_z$ là không gian con $l$-chiều của V liên kết với nó. Chứng minh rằng $M_z$ toàn đẳng hướng khi và chỉ khi $z$ thuộc về X hoặc Y. (Sử dụng sự kiện rằng, khi $M_z$ toàn đẳng hướng, tồn tại một phép biến đổi trực giao biến nó thành $M_x$; khi $M_z$ không toàn đẳng hướng, xây dựng một $l$-vectơ $t$ sao cho $z\wedge t= 0, \Psi_l(z, t) = 1$, và áp dụng b) ở trên.) Khi $z\in X$ (tương ứng $z\in Y$), chiều của $M_x/(M_x\cap M_z)$ là một số nguyên chẵn (tương ứng lẻ), cf. Đại số, Chap. IX, §6, Exerc. $18d)$.

d) Cho $s$ là một phép tương tự trực tiếp (tương ứng nghịch đảo) của V. Chứng minh rằng $\bigwedge^ls$ giữ X và Y ổn định (tương ứng hoán đổi X và Y).