Bài tập 18, § 13

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, Q là một dạng toàn phương không suy biến trên V, và $\Psi$ là dạng song tuyến tính đối xứng liên kết với Q. Ký hiệu đại số Lie $\mathfrak{o}(\Psi )$ bởi $\mathfrak{g}$ và mở rộng của $\Psi$ lên $\bigwedge^2(V)$ bởi $\Psi_2$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu của các không gian vectơ $\theta :\bigwedge^2(V)\rightarrow \mathfrak{g}$ được đặc trưng bởi các tính chất tương đương sau:

$^{22}$Để biết thêm chi tiết về các Bài tập 16 và 17, xem: N. JACOBSON, Lie Algebras, Interscience Publ. (1962), Chap. X và G. B. SELIGMAN, Modular Lie Algebras,

Springer-Verlag (1967), Chap. IV.

(i) Với $a, b$ và $x$ thuộc V, ta có $\theta (a\wedge b).x=a.\Psi (x, b)-b.\Psi (x, a)$.

(ii) Với $x, y$ thuộc V và $u$ thuộc $\bigwedge^2(V)$ ta có $\Psi_2(x\wedge y, u) =\Psi (x, \theta (u).y)$.

Cho $\sigma$ là biểu diễn đồng nhất của $\mathfrak{g}$ trên V; khi đó $\theta$ là một đẳng cấu của $\bigwedge^2(V)$ với biểu diễn phụ hợp của $\mathfrak{g}$.

b) Định nghĩa ánh xạ tuyến tính $f:\mathfrak{g}\rightarrow C^+(Q)$ như trong Bổ đề 1 của no. 2. Chứng minh rằng $f \theta (a\wedge b) =\frac{1}{2}(ab-ba)$ với $a, b$ thuộc V, và suy ra một chứng minh mới của các khẳng định (iii), (iv) và (v) của Bổ đề 1 của no. 2.

c) Các ký hiệu $l,F,F', e_0,N, \lambda$ và $\rho$ là các ký hiệu của no. 2. Chọn $e\not= 0$ trong $\bigwedge(F')$ và định nghĩa dạng song tuyến tính $\Phi$ trên N bởi

Chứng minh rằng $\Phi (\lambda (a).x, y) +\Phi (x, \lambda (a).y) = 0$ với $x, y$ thuộc N và $a$ thuộc $F\oplus F'$. Suy ra rằng $\Phi$ là bất biến dưới biểu diễn $\rho$ của $\mathfrak{g}$ (nhận xét rằng đại số Lie $\rho (\mathfrak{g})$ được sinh bởi $\lambda (F\oplus F')$ bởi a) và b) ở trên).