Bài tập 5, § 2

Cho $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ là một đại số Lie nửa đơn tách, và $(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$ là một họ các phần tử thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 2. Cho B là một cơ sở của R. Các $H_{\alpha}(\alpha \in B)$ và các $X_{\alpha}(\alpha \in R)$ tạo thành một cơ sở của không gian vectơ $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng biệt thức của dạng Killing của $\mathfrak{g}$ đối với cơ sở này (Đại số, Chương IX, §2) là một số hữu tỉ, độc lập với lựa chọn của $\mathfrak{h}$, của B, và của các $X_{\alpha}.^{10}$ Suy ra rằng, nếu $n=$ dim $\mathfrak{g}$, phần tử của $\bigwedge^n\mathfrak{g}$ được xác định bởi tích ngoài của các $H_{\alpha}(\alpha \in B)$ và các $X_{\alpha}(\alpha \in R)$ là độc lập, tới dấu, với lựa chọn của $\mathfrak{h}$, của B, và của các $X_{\alpha}$.