Bài tập 9, § 2

Cho G là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều liên thông. Cho $\mathfrak{g}$ là đại số Lie của nó, và cho $\{x_1, . . . , x_n\}$ là một họ sinh của $\mathfrak{g}$. Với $m\geq 0$, ký hiệu $\Gamma_m$ là nhóm con của G sinh bởi exp(2$^{-m}x_i$)$, 1\leq i\leq n$. Ta có $\Gamma_0\subset \Gamma_1\subset \cdots$.

a) Chứng minh rằng hợp của các $\Gamma_m$ là trù mật trong G.

b) Cho $H_m$ là thành phần đơn vị của bao đóng $\overline{\Gamma}_m$ của $\Gamma_m$. Ta có $H_0\subset H_1\subset \cdots$, và họ $(H_m)$ là dừng; cho H là giá trị chung của các $H_m$ với $m$ đủ lớn. Chứng minh rằng H là chuẩn tắc trong G (quan sát rằng H được chuẩn hóa bởi mọi $\Gamma_m$), và rằng ảnh của $\Gamma_m$ trong $G/H$ là một nhóm con rời rạc của $G/H$. Hợp của các nhóm con này là trù mật trong $G/H$, suy ra (xem Chương III, §6, Bài tập $23d$)$)$ rằng $G/H$ là lũy linh.

c) Giả sử rằng $\mathfrak{g}=\mathscr{D}\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng G = H, nói cách khác, rằng $\Gamma_m$ là trù mật trong G nếu $m$ đủ lớn.