Bài tập 14, § 3

Giữ lại các ký hiệu của Mệnh đề 9.

a) Cho $\alpha \in B$. Chứng minh rằng $\mathfrak{n}\cap$ Ker ad $X_{\alpha}$ là tổng trực tiếp của các $\mathfrak{g}^{\beta}$, trong đó $\beta$ thuộc tập hợp các phần tử của $R_+$ sao cho $\alpha +\beta \notin R_+$.

b) Suy ra rằng, nếu $\mathfrak{g}$ là đơn, tâm của $\mathfrak{n}$ bằng $\mathfrak{g}^{\widetilde{\alpha}}$, trong đó $\widetilde{\alpha}$ là nghiệm cao nhất của $R_+$. Trong trường hợp tổng quát, chiều của tâm của $\mathfrak{n}$ bằng số các thành phần đơn của $\mathfrak{g}$.