Bài tập 5, § 3

Cho $\mathfrak{m}$ là một đại số con parabolic của một đại số Lie nửa đơn $\mathfrak{a}$.

a) Cho $\mathfrak{p}$ là một đại số con của $\mathfrak{m}$. Khi đó $\mathfrak{p}$ là một đại số con parabolic của $\mathfrak{a}$ khi và chỉ khi $\mathfrak{p}$ chứa căn $\mathfrak{r}$ của $\mathfrak{m}$ và $\mathfrak{p}/\mathfrak{r}$ là một đại số con parabolic của đại số nửa đơn $\mathfrak{m}/\mathfrak{r}$.

b) Nếu $\mathfrak{m}'$ là một đại số con parabolic của $\mathfrak{a}$, thì mọi đại số con Cartan của $\mathfrak{m}\cap \mathfrak{m}'$ đều là một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$. (Rút gọn về trường hợp tách, và áp dụng Mệnh đề 10 cho các đại số con Borel được chứa trong $\mathfrak{m}$ và $\mathfrak{m}'.$)