Bài tập 8, § 3

Nhãn 010M, cố định. Trích dẫn là [Bourbaki, Tag 010M].

Nhóm Lie và đại số Lie, VIII, 230

Chọn một cơ sở của R, và do đó một tập hợp các nghiệm dương $R_+$ . Giả sử rằng R là bất khả quy. Gọi $\widetilde{\alpha}$ là nghiệm cao nhất, S là tập hợp các nghiệm trực giao với $\widetilde{\alpha}$ , và $S_+= S\cap R_+$ .

a) Đặt

\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}^S\oplus \mathfrak{h}_S,\mathfrak{m}_+=\sum_{\alpha\in S_+}\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{m}_-=\sum_{\alpha\in S_+}\mathfrak{g}^{-\alpha}

Khi đó $\mathfrak{g}'$ là nửa đơn và $\mathfrak{g}'=\mathfrak{h}_S\oplus \mathfrak{m}_+\oplus \mathfrak{m}_-$ .

b) Đặt:

\mathfrak{n}_+=\sum\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{p}=\sum\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{p}_0=\sum\mathfrak{g}^{\alpha}

\alpha \in R_+\alpha \in R_+-S_+\alpha \in R_+-S_+-\{\widetilde{\alpha}\}

Khi đó

\mathfrak{n}_+=\mathfrak{m}_+\oplus \mathfrak{p},[\mathfrak{m}_+,\mathfrak{p}_0]\subset \mathfrak{p}_0,[\mathfrak{n}_+,\mathfrak{g}^{\widetilde{\alpha}}] = 0

Đặc biệt, $\mathfrak{p}$ là một iđêan của $\mathfrak{n}_+$ .

c) Với mọi $\alpha \in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ , tồn tại duy nhất một $\alpha '\in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ sao cho $\alpha +\alpha '= \widetilde{\alpha}$ . Với mọi $\alpha \in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ , có thể chọn một phần tử khác không $X_{\alpha}$ của $\mathfrak{g}^{\alpha}$ sao cho

$[X_{\alpha}, X_{\alpha'}] =\pm X_{\widetilde{\alpha}}$ nếu $\alpha \in R_+-S_+- \{\widetilde{\alpha}\}$

$[X_{\alpha}, X_{\beta}] = 0$ nếu $\alpha , \beta \in R_+-S_+, \beta \not=\alpha '.^{11}$

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Được trích dẫn bởi

Không có.

Trích dẫn đến

Không có.