Bài tập 12, § 5

Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{g}, A$ là một tập con của $\mathfrak{h}$, và $s\in$ Aut($\mathfrak{g}$) sao cho $sA = A$. Chứng minh rằng tồn tại $t\in$ Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) sao cho $t|A =s|A$ và $ts^{-1}\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$. (Cho $\mathfrak{a}$ là hoán tập của A trong $\mathfrak{g}$; đó là một đại số con khả quy của $\mathfrak{g}$, mà $s\mathfrak{h}$ và $\mathfrak{h}$ là các đại số con Cartan tách; suy ra sự tồn tại của $u\in$ Aut$_e(\mathfrak{a})$ sao cho $us\mathfrak{h}=\mathfrak{h}$; chứng minh rằng tồn tại $v\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$ mở rộng $u$ sao cho $v|A =$ Id$_A$; lấy $t=vs.$) Suy ra rằng, nếu $s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$, thì tồn tại $w\in W(R)$ sao cho $w|A =s|A$.