Bài tập 9, § 5

Cho R là một hệ nghiệm rút gọn, B một cơ sở của R, và $(\mathfrak{g}_0,\mathfrak{h}_0,B,(X_{\alpha})_{\alpha\in B})$ một đại số Lie nửa đơn có khung tương ứng (§4). Gọi $\overline{k}$ là một bao đóng đại số của $k$, và $\rho :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut(R$,B$) một đồng cấu liên tục (xem Bài tập 8); nếu $\sigma \in$ Gal($\overline{k}/k$), ký hiệu bởi $\rho_{\sigma}$ tự đẳng cấu $k$-tuyến tính của $\overline{\mathfrak{g}}_0= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}_0$ sao cho $\rho_{\sigma}(X_{\alpha}) =X_{\rho(\sigma)\alpha}$. Mặt khác, tác dụng tự nhiên của Gal($\overline{k}/k$) trên $\overline{k}$ có thể được mở rộng thành một tác dụng trên $\overline{\mathfrak{g}}_0$. Gọi $\mathfrak{g}$ là tập con của $\overline{\mathfrak{g}}_0$ gồm các phần tử $x$ sao cho $\rho_{\sigma}(x) =\sigma^{-1}.x$ với mọi $\sigma \in$ Gal($\overline{k}/k$).

a) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie trên $k$ của $\overline{\mathfrak{g}}_0$, và đơn ánh từ $\mathfrak{g}$ vào $\overline{\mathfrak{g}}_0$ mở rộng thành một đẳng cấu từ $\overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$ lên $\overline{\mathfrak{g}}_0$. Đặc biệt, $\mathfrak{g}$ là nửa đơn.

b) Gọi $\mathfrak{b}_0$ là đại số con của $\mathfrak{g}_0$ sinh bởi $\mathfrak{h}_0$ và các $X_{\alpha}$. Đặt

Chứng minh rằng $\overline{k}\otimes_k\mathfrak{b}= \overline{\mathfrak{b}}_0$ và $\overline{k}\otimes_k\mathfrak{h}= \overline{\mathfrak{h}}_0$, để $\mathfrak{b}$ là một đại số con Borel của $\mathfrak{g}$ và $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan được chứa trong đó.

$^{12}$Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem: B. KOSTANT, The principal threedimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group,

Amer. J. Math., Vol. LXXXI (1959), pp. 973-1032. c) Chứng minh rằng đồng cấu $\pi$ liên kết với đại số $\mathfrak{g}$ (xem Bài tập 8) bằng $\rho$.