Bài tập 11, § 7

Các ký hiệu là các ký hiệu của no. 7. Với mọi số nguyên $m\geq 1$, ký hiệu $\Psi^m$ là tự đồng cấu của $\mathbf{Z}[\Delta ]$ biến $e^{\lambda}$ thành $e^{m\lambda}$. Ta có $\Psi^1=$ Id và $\Psi^m\circ \Psi^n=\Psi^{mn}$.

Cho E là một không gian vectơ $\Delta$-phân bậc hữu hạn chiều. Với mọi $n\geq 0$, ký hiệu $a_nE$ (tương ứng $s_nE$) là lũy thừa ngoài thứ $n$ (tương ứng lũy thừa đối xứng thứ $n$) của E, được trang bị phân bậc tự nhiên của nó.

a) Chứng minh rằng

$n$ ch($s_nE$) $=\sum_{m=1}^n\Psi^m$(ch(E))ch($s_{n-m}E$)

và

$n$ ch($a_nE$) $=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\Psi^m$(ch(E))ch($a_{n-m}E$).

Suy ra rằng ch($s_nE$) và ch($a_nE$) có thể được biểu diễn thành các đa thức, với các hệ số hữu tỉ, theo các $\Psi^m$(ch(E)), $1\leq m\leq n$. Ví dụ:

ch($s_2E$) $=\frac{1}{2}$ ch(E)$^2+\frac{1}{2}\Psi^2$(ch(E))

ch($a_2E$) $=\frac{1}{2}$ ch(E)$^2-\frac{1}{2}\Psi^2$(ch(E)).

b) Chứng minh các đồng nhất thức sau (trong đại số các chuỗi lũy thừa hình thức theo một biến T, với các hệ số trong $\mathbf{Q}[\Delta ]$)$:$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ ch($s_nE$)$T^n=$ exp$\{\sum_{m=1}^{\infty}\Psi^m$(ch(E))T$^m/m\}$

và

$\sum_{n=0}^{\infty}$ ch($a_nE$)$T^n=$ exp$\{\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\Psi^m$(ch(E))T$^m/m\}$.

c) Giả sử rằng $\Delta$ là một nhóm, sao cho $\Psi^m$ có thể được xác định với mọi $m\in \mathbf{Z}$. Chứng minh rằng, nếu $E^*$ là đối ngẫu phân bậc của E,

ch($E^*$) $=\Psi^{-1}$(ch(E)).

d) Đồng nhất $R(\mathfrak{g})$, bằng ch, với một vành con của $\mathbf{Z}[P]$. Chứng minh rằng $R(\mathfrak{g})$ ổn định đối với các $\Psi^m,m\in \mathbf{Z}$, và vành con $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ được xác định trong bài tập trước cũng có tính chất đó.