Bài tập 17, § 7

Cho $\lambda , \mu\in P_{++}$ và $\alpha \in B$ sao cho $\lambda (H_{\alpha})\geq 1$ và $\mu(H_{\alpha})\geq 1$. Đặt $F = E(\lambda )\otimes E(\mu)$.

a) Chứng minh rằng dim $F^{\lambda+\mu}= 1$ và dim $F^{\lambda+\mu-\alpha}= 2$.

b) Chứng minh rằng $X_{\alpha}: F^{\lambda+\mu-\alpha}\rightarrow F^{\lambda+\mu}$ là toàn ánh, và các phần tử khác không của hạt nhân của nó là nguyên thủy (nhận xét rằng, nếu $\beta \in B$ phân biệt với $\alpha$, thì $\lambda +\mu-\alpha +\beta$ không phải là một trọng số của F).

c) Suy ra rằng $E(\lambda )\otimes E(\mu)$ chứa một môđun con duy nhất đẳng cấu với

d) Chứng minh rằng $\mathbf{S}^2(E(\lambda ))$ (resp. $\bigwedge^2E(\lambda )$) chứa một môđun con duy nhất đẳng cấu với $E(2\lambda )$ (resp. với $E(2\lambda -\alpha )$).