Bài tập 18, § 7

Chọn một dạng song tuyến tính đối xứng dương không suy biến $(\cdot | \cdot )$ trên $\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$ bất biến dưới W. Cho $\lambda \in P_{++}$.

a) Cho $\mu$ là một trọng số của $E(\lambda )$. Viết $\lambda -\mu$ dưới dạng $\sum_{\alpha\in B}k_{\alpha}\alpha$. Cho $\alpha \in B$ sao cho $k_{\alpha}\not= 0$. Chứng minh rằng tồn tại $\alpha_1, . . . , \alpha_n\in B$ sao cho $(\lambda |\alpha_1)\not= 0$, $(\alpha_1|\alpha_2)\not= 0, . . . ,(\alpha_{n-1}|\alpha_n)\not= 0,(\alpha_n|\alpha )\not= 0$.

b) Cho $v$ là một phần tử nguyên thủy của $E(\lambda )$, và cho $\alpha_1, . . . , \alpha_n\in B$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) $(\alpha_i|\alpha_{i+1})\not= 0$ với $i= 1,2, . . . , n-1$;

(ii) $(\alpha_i|\alpha_j) = 0$ với $j > i+ 1$;

(iii) $\lambda (H_{\alpha_1})\not= 0$ và $\lambda (H_{\alpha_2}) =\cdots =\lambda (H_{\alpha_n}) = 0$.

Chứng minh rằng $X_{-\alpha_n}X_{-\alpha_{n-1}}. . . X_{-\alpha_1}v\not= 0$. (Nhận thấy rằng, với $1\leq s\leq n$,

không phải là một trọng số của $E(\lambda )$, và suy ra rằng $X_{\alpha_s}X_{-\alpha_s}X_{-\alpha_{s-1}}. . . X_{-\alpha_1}v\not= 0$ bằng quy nạp theo $s.)$ Nếu $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ và $\sigma \not= 1$, thì $X_{-\alpha_{\sigma(n)}}X_{-\alpha_{\sigma(n-1)}}. . . X_{-\alpha_{\sigma(1)}}v= 0$. (Cho $r$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $\sigma (r)\not=r$. Dùng a) để chứng minh rằng $\lambda -\alpha_{\sigma(1)}-. . .-\alpha_{\sigma(r)}$ không phải là một trọng số của $E(\lambda ).)$

c) Cho $\lambda '\in P_{++}$. Một xích nối $\lambda$ với $\lambda '$ là một dãy $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ các phần tử của B sao cho $n\geq 1, (\lambda |\alpha_1)\not= 0,(\alpha_1|\alpha_2)\not= 0, . . . ,(\alpha_{n-1}|\alpha_n)\not= 0$, $(\alpha_n|\lambda ')\not= 0$. Một xích như thế được gọi là cực tiểu nếu không có dãy con ngặt nào của $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ nối $\lambda$ với $\lambda '$. Trong trường hợp đó, ta có $(\alpha_i|\alpha_j) = 0$ nếu $|i-j| \geq 2$, $(\lambda |\alpha_i) = 0$ nếu $i\geq 2$ và $(\lambda '|\alpha_i) = 0$ nếu $i\leq n-1$.

d) Cho $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ là một xích cực tiểu nối $\lambda$ với $\lambda '$. Nếu $v'$ là một vectơ nguyên thủy trong $E(\lambda ')$, đặt:

$a_0= (\lambda |\alpha_1), a_n= (-1)^n(\lambda '|\alpha_n), a_s= (-1)^{s+1}(\alpha_s|\alpha_{s+1}), 1\leq s\leq n-1$. Chứng minh rằng

là một phần tử nguyên thủy của $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ có trọng số $\lambda +\lambda '-\alpha_1- \cdots -\alpha_n$, và rằng nó là duy nhất tới một phép vị tự.

(Dùng $b$) và c) để chỉ ra rằng mọi phần tử của $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ có trọng số

đều là một tổ hợp tuyến tính của các $v_s\otimes v'_s$. Sau đó hãy viết ra điều kiện để một tổ hợp tuyến tính như vậy là một vectơ nguyên thủy.)

Suy ra rằng $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ chứa một $\mathfrak{g}$-môđun con duy nhất đẳng cấu với

(Khi $n= 1$ ta thu được Bài tập 17.)

e) Gọi $w$ là một phần tử nguyên thủy của $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$. Giả sử rằng trọng số $\nu$ của $w$ phân biệt với $\lambda +\lambda '$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một dây $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ nối $\lambda$ với $\lambda '$ sao cho

(Gọi C là tập hợp các $\alpha \in B$ sao cho thành phần có chỉ số $\alpha$ của $\lambda +\lambda '-\nu$ là $\not= 0$. Gọi D (tương ứng $D'$) là tập hợp các $\alpha \in C$ sao cho tồn tại $\gamma_1, . . . , \gamma_t\in C$ thỏa mãn $(\lambda |\gamma_1)\not= 0$ (tương ứng $(\lambda '|\gamma_1)\not= 0$)$, (\gamma_1|\gamma_2)\not= 0, . . . ,(\gamma_{t-1}|\gamma_t)\not= 0$, $(\gamma_t|\alpha )\not= 0$. Gọi Y (tương ứng $Y'$) là tập hợp các trọng số của $E(\lambda )$ (tương ứng $E(\lambda ')$) có dạng $\lambda -\sum_{\alpha\in C}k_{\alpha}\alpha$ (tương ứng $\lambda '-\sum_{\alpha\in C}k_{\alpha}\alpha$ ), với $k_{\alpha}\in \mathbf{N}$. Hãy chỉ ra rằng $w$ thuộc $((\sum_{\mu\in Y}E(\lambda )^\mu)\otimes ((\sum_{\mu'\in Y'}E(\lambda ')^{\mu'})$. Dùng a) và việc rằng $\nu \not=\lambda +\lambda '$,

hãy chỉ ra rằng $D\cap D'\not=\emptyset .)$

f) Hãy chỉ ra sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ đẳng cấu với $E(\lambda +\lambda ')$.

(ii) $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ là một môđun đơn.

(iii) Không có dây nào nối $\lambda$ với $\lambda '$.

(iv) R là tổng trực tiếp của hai hệ nghiệm $R_1$ và $R'_1$ sao cho $\lambda \in P(R_1)$ và $\lambda '\in P(R'_1)$.

(v) $\mathfrak{g}$ là tích của hai iđêan $\mathfrak{s}$ và $\mathfrak{s}'$ sao cho $\mathfrak{s}'.E(\lambda ) = 0$ và $\mathfrak{s}.E(\lambda ') = 0$.

(Dùng $d$) để chứng minh sự tương đương của (ii) và (iii).)$^{15}$