Bài tập 21, § 7

Cho $\lambda , \mu\in P_{++}$. Cho $E,F,G$ là các $\mathfrak{g}$-môđun đơn có các trọng số cao nhất $\lambda , \mu, \lambda +\mu$, và cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$. Nếu $\omega$ là một trọng số của E có bội số $n$, thì $\omega +\mu$ là một trọng số của G có bội số $\geq n$. (Ta có $G^{\omega+\mu}\subset \bigoplus_{\nu+\sigma=\omega+\mu}E^{\nu}\otimes F^{\sigma}$. Nếu dim $G^{\omega+\mu}< n$, phép chiếu của $G^{\omega+\mu}$ lên

$E^{\omega}\otimes F^\mu$ có dạng $E'\otimes F^\mu$, với $E'$ được chứa thực sự trong $E^{\omega}$. Hãy suy ra một mâu thuẫn từ điều này bằng cách chọn các cơ sở thích nghi của E và F và bắt chước chứng minh của Mệnh đề 10.)