Bài tập 25, § 7

Cho $\mathfrak{a}$ là một đại số Lie và U là đại số bao quanh của nó. Áp dụng các định nghĩa và các kết quả của Bài tập 24 cho đại số U. Đặc biệt, $U'\subset U^*$ và đối ngẫu của $U'$ có thể được đồng nhất với đại số $\widehat{U} =$ lim$_{\leftarrow -}U/\mathfrak{m}$; ánh xạ chính tắc $U\rightarrow \widehat{U}$ là đơn ánh (Chương I, §7, Bài tập 3).

a) Cấu trúc đối đại số của U (Chương II, §1, no. 4) xác định một cấu trúc đại số trên đối ngẫu $U^*$ (xem Chương II, §1, no. 5, Mệnh đề 10, và Đại số, Chương III, §11, no. 2). Nếu $E,F$ là các $\mathfrak{a}$-môđun hữu hạn chiều,

$\theta_{a,b}\circ \theta_{c,d}=\theta_{a\otimes c,b\otimes d}$ for $a\in E, b\in E^*, c\in F, d\in F^*$.

Suy ra rằng $U'$ là một đại số con của $U^*$. Các cấu trúc đối đại số và đại số của $U'$ làm cho nó là một đại đại số giao hoán (Đại số, Chương III, §11, no. 4).

b) Cho $x$ là một phần tử của $\widehat{U}$; đồng nhất $x$ với một dạng tuyến tính $U'\rightarrow k$. Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $x$ là một đồng cấu đại số từ $U'$ vào $k$.

(ii) $x_{E\otimes F}=x_E\otimes x_F$ với mọi $\mathfrak{a}$-môđun hữu hạn chiều E và F.

(Chứng minh trước hết rằng (ii) tương đương với

(ii$'$)$x(\theta_{a\otimes c,b\otimes d}) =x(\theta_{a,b})x(\theta_{c,d})$ nếu $a\in E, b\in E^*, c\in F, d\in F^*$,

và sử dụng sự kiện rằng các $\theta_{a,b}$ sinh ra $U'$.)

c) Cho $x$ là một phần tử của $\widehat{U}$ thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của b). Chỉ ra sự tương đương của các điều kiện sau:

(iii) $x$ nhận phần tử đơn vị của $U'$ thành phần tử đơn vị của $k$.

(iv) $x\not= 0$.

(v) Nếu $k$ được trang bị cấu trúc $\mathfrak{a}$-môđun tầm thường, ta có $x_k=$ Id.

(vi) $x_E$ là khả nghịch với mọi E.

(Sự tương đương (iii) $\Leftarrow \Rightarrow$ (iv) suy ra từ sự kiện rằng $x$ là một đồng cấu đại số. Mặt khác, $x_k=\lambda$ Id, với $\lambda \in k$. Sử dụng đẳng cấu $\mathfrak{a}$-môđun $k\otimes E\rightarrow E$, suy ra rằng $\lambda x_E=x_E$ với mọi E, và, đặc biệt, rằng $\lambda^2=\lambda$ bằng cách lấy $E =k$. Trường hợp $\lambda = 1$ tương ứng với $x\not= 0$, do đó (iv) $\Leftarrow \Rightarrow$ (v), và (vi) $=\Rightarrow$ (v). Để chứng minh (v) $=\Rightarrow$ (vi), chỉ ra rằng, nếu F là đối ngẫu của E, thì $^tx_F\circ x_E=\lambda$ Id$_E.$)

d) Cho G là tập hợp các phần tử của $\widehat{U}$ thỏa mãn các điều kiện (i) đến (vi) ở trên. Chứng minh rằng G là một nhóm con của nhóm các phần tử khả nghịch của $\widehat{U}$.

Cho $x\in G$. Nếu E là một $\mathfrak{a}$-môđun hữu hạn chiều, thì $x_E\in \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$. Điều này áp dụng đặc biệt cho $E =\mathfrak{a}$, được trang bị biểu diễn phụ hợp; điều này cho một phần tử $x_{\mathfrak{a}}\in \mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{a})$. Chứng minh rằng $x_{\mathfrak{a}}$ là một tự đẳng cấu của $\mathfrak{a}$ (dùng đồng cấu $\mathfrak{a}$-môđun $\mathfrak{a}\otimes \mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{a}$ cho bởi móc). Điều này cho một đồng cấu $v: G\rightarrow$ Aut($\mathfrak{a}$). Nếu E là một $\mathfrak{a}$-môđun hữu hạn chiều,

$x_E(y.e) =v(x)(y).x_E(e)$ nếu $y\in \mathfrak{a}, e\in E$

(dùng đồng cấu $\mathfrak{a}$-môđun $\mathfrak{a}\otimes E\rightarrow E$ cho bởi phép toán của $\mathfrak{a}$ trên E).

e) Tự phản đẳng cấu chính $\sigma$ của U mở rộng bằng liên tục lên $\widehat{U}$. Chuyển vị của nó giữ $U'$ ổn định và gây ra một phép nghịch đảo trên $U'$(Đại số, Chương III, §11, Bài tập 4). Nếu $x\in G$, thì $\sigma (x) =x^{-1}$.

f) Giả sử rằng $\mathfrak{a}$ là nửa đơn$^{16}$. Cho $n$ là một phần tử lũy linh của $\mathfrak{a}$. Khi đó tồn tại một phần tử duy nhất $e^n$ của G sao cho $(e^n)_E=$ exp($n_E$) với mọi $\mathfrak{a}$-môđun hữu hạn chiều E. Ta có $v(e^n) =$ exp(ad $n$)$\in$ Aut($\mathfrak{a}$), do đó Aut$_e(\mathfrak{a})\subset v(G)$.

Chứng minh rằng, nếu $\mathfrak{b}$ là một đại số con của $\mathfrak{a}$ gồm các phần tử lũy linh, thì

$e^n.e^m=e^{H(n,m)}$ với $n, m\in \mathfrak{b}$,

trong đó H ký hiệu chuỗi Hausdorff (Chương II, §6).