Bài tập 3, § 7

a) Cho E là một $\mathfrak{g}$-môđun. Hãy chứng minh sự tương đương của các điều kiện:

(i) Hạng của tích bán trực tiếp của $\mathfrak{g}$ bởi E lớn hơn hạng của $\mathfrak{g}$ một cách nghiêm ngặt.

(ii) 0 là một trọng số của E.

(iii) Tồn tại một trọng số của E là căn (nghĩa là thuộc Q).

b) Giả sử rằng E là đơn. Hãy chứng minh rằng (i), (ii), (iii) tương đương với

(iv) Trọng số cao nhất của E là căn.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, không tồn tại dạng song tuyến tính phản xứng bất biến khác không. (Sử dụng Mệnh đề 12 và Mệnh đề 1 (ii) của §6.)