Bài tập 13, § 8

a) Cho $\mathfrak{a}$ là một đại số Lie lũy linh, $x\in \mathfrak{a}, n\in \mathbf{N}, p\in \mathbf{N}$. Tồn tại $l\in \mathbf{N}$ sao cho $x^ly_1. . . y_n\in U(\mathfrak{a})x^p$ với mọi $y_1, . . . , y_n\in \mathfrak{a}$.

b) Cho $\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^*$, và $\alpha \in B$ sao cho

Giả sử rằng $\lambda \in P$. Đặt $p=\lambda (H_{\alpha})\in \mathbf{Z}$. Chứng minh rằng:

$b_1)$ Nếu $p\leq 0$, thì $Z(\lambda -\rho )\subset Z(s_{\alpha}\lambda -\rho )$.

$b_2)$ Nếu $p >0$, thì $Z(s_{\alpha}\mu-\rho )\subset Z(s_{\alpha}\lambda -\rho )\subset Z(\lambda -\rho )$.

(Sử dụng $a$), và §6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 6.)

c) Cho $\lambda \in \mathfrak{h}^*, \alpha \in R$, và $m=\lambda (H_{\alpha})$. Giả sử rằng $m\in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng

(Trước hết chứng minh điều này cho $\lambda \in P$ bằng cách sử dụng $b$), và sau đó trong trường hợp tổng quát bằng cách sử dụng Exerc. $12d).)^{17}$)