Bài tập 18, § 8

Cho $\mathfrak{a}$ là một đại số Lie nửa đơn, $l=$ rk($\mathfrak{a}$)$, I$ là đại số các hàm đa thức bất biến trên $\mathfrak{a}$, và $P_1, . . . ,P_l$ là các phần tử thuần nhất của I sinh I như một đại số. Các $P_i$ định nghĩa một ánh xạ đa thức $P :\mathfrak{a}\rightarrow k^l$. Nếu $x\in \mathfrak{a}$, ký hiệu $D_xP :\mathfrak{a}\rightarrow k^l$ là ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của P tại $x$ (Chương VII, Phụ lục I, no. 2).

a) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$, và cho $x\in \mathfrak{h}$. Chứng minh sự tương đương của:

(i) $D_xP|\mathfrak{h}$ là một đẳng cấu từ $\mathfrak{h}$ đến $k^l$;

(ii) $x$ là chính quy.

(Rút gọn về trường hợp tách. Chọn một cơ sở của $\mathfrak{h}$, và ký hiệu $d(x)$ là định thức của ma trận của $D_xP|\mathfrak{h}$ đối với cơ sở này. Chỉ ra, bằng Mệnh đề 5 của Chương V, §5, no. 4, rằng tồn tại $c\in k^*$ sao cho $d(x)^2=c\prod_{\alpha\in R}\alpha (x)$,

trong đó $\alpha$ thuộc tập hợp R các nghiệm của $(\mathfrak{a},\mathfrak{h}).)$

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, $\mathfrak{a}=\mathfrak{h}\oplus$Im ad($x$), và Ker $D_xP =$ Im ad($x$) (sử dụng Bài tập 6 để chỉ ra rằng $D_xP$ triệt tiêu trên Im ad($x$)).

b) Chỉ ra rằng tập hợp các $x\in \mathfrak{a}$ sao cho $D_xP$ có hạng $l$ là một tập con mở trù mật của $\mathfrak{a}$ trong tôpô Zariski.