Bài tập 4, § 4

Cho $B$ là không gian con $\{1/n|n\in \mathbf{N}^*\} \cup \{0\}$ của $[0,1]$ và cho $E = B\times \mathbf{N}$ $\{(0,0)\}$.

a) Bài tập chứng minh rằng E, được trang bị ánh xạ pr$_1: E\rightarrow B$, là một phủ tầm thường của B. b) Bài tập chứng minh rằng đơn ánh chính tắc $E,\rightarrow B\times \mathbf{N}$ là một cấu xạ của các phủ của B nhưng không làm cho E trở thành một phủ của $B\times \mathbf{N}$.

c) Xây dựng hai B-không gian $(E_1, p_1)$ và $(E_2, p_2)$ và một B-cấu xạ $f: E_1\rightarrow E_2$ sao cho $(E_1, f)$ và $(E_1, p_1)$ là các phủ, nhưng sao cho ánh xạ $p_2$ không tách biệt.

d) Bài tập chứng minh rằng tập hợp U của các cặp có dạng $(1/n, n)$, với $n$ chạy qua $\mathbf{N}^*$, là mở và đóng trong $B\times \mathbf{N}$, nhưng rằng $(U$, pr$_1|U)$ không là một phủ của B.