Exercice 4, § 4

Soit B le sous-espace $\{1/n|n\in \mathbf{N}^*\} \cup \{0\}$ de $[0,1]$ et soit $E = B\times \mathbf{N}$ $\{(0,0)\}$.

a) Démontrer que E, muni de l’application pr$_1: E\rightarrow B$, est un revêtement trivial de B. b) Démontrer que l’injection canonique $E,\rightarrow B\times \mathbf{N}$ est un morphisme de revêtements de B mais ne fait pas de E un revêtement de $B\times \mathbf{N}$.

c) Construire deux B-espaces $(E_1, p_1)$ et $(E_2, p_2)$ et un B-morphisme $f: E_1\rightarrow E_2$ tels que $(E_1, f)$ et $(E_1, p_1)$ soient des revêtements, mais tel que l’application $p_2$ ne soit pas séparée.

d) Démontrer que l’ensemble U des couples de la forme $(1/n, n)$, pour $n$ décrivant $\mathbf{N}^*$ est ouvert et fermé dans $B\times \mathbf{N}$, mais que $(U$, pr$_1|U)$ n’est pas un revêtement de B.