Bài tập 10, § 3

Cho $F$ là một tập hợp, $C$ là một tập con của $F\times F$ và $m: C\rightarrow F$ là một ánh xạ. Ta đặt ra các giả thiết sau:

(i) Các ánh xạ từ C vào $F\times F$ được cho bởi $(f, g)\mapsto (f, m(f, g))$ và $(f, g)\mapsto (m(f, g), g)$ là đơn ánh ;

(ii) Nếu $f,g,h\in F$ sao cho các cặp $(f, g)$ và $(g, h)$ thuộc C, thì các cặp $(f, m(g, h))$ và $(m(f, g), h)$ thuộc C và ta có $m(f, m(g, h)) =m(m(f, g), h)$ ;

(iii) Với mọi $f\in F$, tồn tại các phần tử $o(f),t(f)$ và $\overline{f}\in F$, tất yếu là duy nhất do (i), sao cho các cặp $(f, t(f))$, $(o(f), f)$, $(f, f)$, $(f , f)$ thuộc C và sao cho ta có $m(f, t(f)) =f=m(o(f), f)$ và $m(f, f) =o(f)$.

a) Chứng minh rằng, với mọi $f\in F$, ta có $(f , f)\in C$ và $m(f , f) =t(f)$. Suy ra rằng$o(\overline{f}) =t(f)$ và$(o(\overline{\overline{f}}f=), of(.f))\in C$ và $m(o(f), o(f)) =o(f)$. Cũng chứng minh rằng

b) Gọi S là tập hợp các phần tử $e$ của F sao cho $(e, e)\in C$ và $m(e, e) =e$; gọi $o$ và $t$ là các ánh xạ từ F vào S được cho bởi $f\mapsto o(f)$ và $f\mapsto t(f)$.

Chứng minh rằng bộ bốn $\Gamma = (S,F, o, t)$ là một đồ thị có hướng và ánh xạ $m$ là một luật hợp thành trong Γ khiến nó thành một vị nhóm. (Phép dựng này là của H. Brandt ; xem « Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes », Mathematische Annalen (1926), vol. 96, p. 360–366.)