Exercice 10, § 3

Soient F un ensemble, C une partie de $F\times F$ et $m: C\rightarrow F$ une application. On fait les hypothèses suivantes :

(i) Les applications de C dans $F\times F$ données par $(f, g)\mapsto (f, m(f, g))$ et $(f, g)\mapsto (m(f, g), g)$ sont injectives ;

(ii) Si $f,g,h\in F$ sont tels que les couples $(f, g)$ et $(g, h)$ appartiennent à C, alors les couples $(f, m(g, h))$ et $(m(f, g), h)$ appartiennent à C et l’on a $m(f, m(g, h)) =m(m(f, g), h)$ ;

(iii) Pour tout $f\in F$, il existe des éléments $o(f),t(f)$ et $\overline{f}\in F$, nécessairement uniques en vertu de (i), tels que les couples $(f, t(f))$, $(o(f), f)$, $(f, f)$, $(f , f)$ appartiennent à C et que l’on ait $m(f, t(f)) =f=m(o(f), f)$ et $m(f, f) =o(f)$.

a) Démontrer que, pour tout $f\in F$, on a $(f , f)\in C$ et $m(f , f) =t(f)$. En déduire que$o(\overline{f}) =t(f)$ et$(o(\overline{\overline{f}}f=), of(.f))\in C$ et $m(o(f), o(f)) =o(f)$. Démontrer aussi que

b) Soit S l’ensemble des éléments $e$ de F tels que $(e, e)\in C$ et $m(e, e) =e$; notons $o$ et $t$ les applications de F dans S données par $f\mapsto o(f)$ et $f\mapsto t(f)$.

Démontrer que le quadruplet $\Gamma = (S,F, o, t)$ est un carquois et que l’application $m$ est une loi de composition dans Γ qui en fait un groupoïde. (Cette construction est due à H. Brandt ; cf. « Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes », Mathematische Annalen (1926), vol. 96, p. 360–366.)