Bài tập 7, § 3

Cho $G$ là một nhóm Lie thực, ký hiệu $G_0$ là thành phần chứa phần tử đơn vị của nó, $Z_0$ là tâm của $G_0$ và $\pi_0(G) = G/G_0$. Cho $(\widetilde{G}_0, p_0)$ là một phủ phổ quát của $G_0$, cho $\widetilde{Z}_0$ là tâm của $\widetilde{G}_0$ và cho $\widetilde{e}$ là phần tử đơn vị của nó.

a) Cho $\theta :\pi_0(G)\rightarrow$ Out(G$_0$) là đồng cấu liên kết với mở rộng $\mathscr{E}: G_0\rightarrow G\rightarrow \pi_0(G)$ (A, X, §7, Bài tập 5). Chứng minh rằng lớp đối đồng điều $\omega (\pi_0(G),Z_0, \theta )$ của $H^3(\pi_0(G),Z_0)$ được định nghĩa ở loc. cit. bằng không. b) Giả sử rằng tồn tại một nhóm Lie $\widetilde{G}$, một ánh xạ toàn ánh $p:\widetilde{G}\rightarrow G$ và một đẳng cấu $j$ từ $\widetilde{G}_0$ lên thành phần chứa phần tử đơn vị của $\widetilde{G}$ sao cho $p_0=p\circ j$. Chứng minh rằng ta có $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$ trong $H^3(\pi_0(G),\widetilde{Z}_0)$, trong đó $\psi :$ Out(G$_0$)$\rightarrow$ Out($\widetilde{G}_0$) là đồng cấu được định nghĩa trong Bài tập 5.

c) Giả sử rằng $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$. Cho $\widetilde{\mathscr{E}}:\widetilde{G}_0\rightarrow E\rightarrow \pi_0(G)$ là một mở rộng của $\pi_0(G)$ bởi $\widetilde{G}_0$ mà đồng cấu liên kết của nó bằng $\psi \circ \theta$. Chứng minh rằng $E/\pi_1(G_0)$ là một mở rộng của $\pi_0(G)$ bởi $G_0$ mà đồng cấu liên kết của nó bằng $\theta$.

Khi đó cho $\gamma$ là phần tử duy nhất của $H^2(\pi_0(G),G_0)$ sao cho $\gamma \cdot [E/\pi_1(G_0)] =$ [G] (loc. cit., e)). Xét đồng cấu $\delta : H^2(\pi_0(G),Z_0)\rightarrow$ $H^3(\pi_0(G), \pi_1(G))$ liên kết với dãy khớp các nhóm Abel $1\rightarrow \pi_1(G_0)\rightarrow$ $\widetilde{Z}_0\rightarrow Z_0\rightarrow 1$ (Bài tập 6). Chứng minh rằng phần tử $\delta (\gamma )$ của $H^3(\pi_0(G), \pi_1(G))$ không phụ thuộc vào lựa chọn mở rộng $\widetilde{\mathscr{E}}$; ký hiệu nó là $\delta (G)$.

d) Giả sử rằng $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$. Để tồn tại một nhóm Lie $\widetilde{G}$, một ánh xạ toàn ánh $p:\widetilde{G}\rightarrow G$ và một đẳng cấu $j$ từ $\widetilde{G}_0$ lên thành phần chứa phần tử đơn vị của $\widetilde{G}$ sao cho $p_0=p\circ j$, điều kiện cần và đủ là $\delta (G) = 0$. [^1]

[^1]: Để có ví dụ, xem bài báo của R. L. Taylor, “Covering groups of nonconnected topological groups”, Proc. Amer. Math. Soc 5 (1954), p. 753–768.