Exercice 7, § 3

Soit G un groupe de Lie réel, notons $G_0$ sa composante neutre, $Z_0$ le centre de $G_0$ et $\pi_0(G) = G/G_0$. Soit $(\widetilde{G}_0, p_0)$ un revêtement universel de $G_0$, $\widetilde{Z}_0$ le centre de $\widetilde{G}_0$ et $\widetilde{e}$ son élément neutre.

a) Soit $\theta :\pi_0(G)\rightarrow$ Out(G$_0$) l’homomorphisme associé à l’extension $\mathscr{E}: G_0\rightarrow G\rightarrow \pi_0(G)$ (A, X, §7, exerc. 5). Démontrer que la classe de cohomologie $\omega (\pi_0(G),Z_0, \theta )$ de $H^3(\pi_0(G),Z_0)$ définie dans loc. cit. est nulle. b) On suppose qu’il existe un groupe de Lie $\widetilde{G}$, une application surjective $p:\widetilde{G}\rightarrow G$ et un isomorphisme $j$ de $\widetilde{G}_0$ sur la composante neutre de $\widetilde{G}$ tels que $p_0=p\circ j$. Démontrer que l’on a $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$ dans $H^3(\pi_0(G),\widetilde{Z}_0)$, où $\psi :$ Out(G$_0$)$\rightarrow$ Out($\widetilde{G}_0$) est l’homomorphisme défini dans l’exerc. 5.

c) On suppose que $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$. Soit $\widetilde{\mathscr{E}}:\widetilde{G}_0\rightarrow E\rightarrow \pi_0(G)$ une extension de $\pi_0(G)$ par $\widetilde{G}_0$ dont l’homomorphisme associé est égal à $\psi \circ \theta$. Démontrer que $E/\pi_1(G_0)$ est une extension de $\pi_0(G)$ par $G_0$ dont l’homomorphisme associé est égal à $\theta$.

Soit alors $\gamma$ l’unique élément de $H^2(\pi_0(G),G_0)$ tel que $\gamma \cdot [E/\pi_1(G_0)] =$ [G] (loc. cit., e)). Considérons l’homomorphisme $\delta : H^2(\pi_0(G),Z_0)\rightarrow$ $H^3(\pi_0(G), \pi_1(G))$ associé à la suite exacte de groupes abéliens $1\rightarrow \pi_1(G_0)\rightarrow$ $\widetilde{Z}_0\rightarrow Z_0\rightarrow 1$ (exerc. 6). Démontrer que l’élément $\delta (\gamma )$ de $H^3(\pi_0(G), \pi_1(G))$ ne dépend pas du choix de l’extension $\widetilde{\mathscr{E}}$; on le note $\delta (G)$.

d) On suppose que $\omega (\pi_0(G),\widetilde{Z}_0, \psi \circ \theta ) = 0$. Pour qu’il existe un groupe de Lie $\widetilde{G}$, une application surjective $p:\widetilde{G}\rightarrow G$ et un isomorphisme $j$ de $\widetilde{G}_0$ sur la composante neutre de $\widetilde{G}$ tels que $p_0=p\circ j$, il faut et il suffit que l’on ait $\delta (G) = 0$. [^1]

[^1]: Pour des exemples, voir l’article de R. L. Taylor, « Covering groups of nonconnected topological groups », Proc. Amer. Math. Soc 5 (1954), p. 753–768.