Bài tập 30, § 5

Cho $v= (v_1, . . . , v_n):\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}^n$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^1$ và cho $\delta$ là một số thực $>0$; ta đặt ra các giả thiết sau:

– Giá của $v$ được chứa trong $[-\delta ,1 +\delta ]\times \mathring{\mathbf{B}}_{n-1}$;

– Với mọi $x\in [0,1-\delta [$, ta có $v_1(x,0, . . . ,0)>0$, và $v_1(1,0, . . . ,0) = 0$;

– Với mọi $x\in [0,1]$, ta có $v_2(x,0, . . . ,0) =\cdots =v_n(x,0, . . . ,0) = 0$. Cho $\Phi :\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}^n$ là dòng chảy nguyên của ánh xạ $(x, t)\mapsto v(x)$ (VAR, 9.1.3); với $t\in \mathbf{R}$, ta ký hiệu $\Phi_t$ là ánh xạ $x\mapsto \Phi (x, t)$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số thực $\tau$ sao cho $\Phi_{\tau}([0,1]\times \{0\})\subset [1-$ $\delta ,1]\times \{0\}$.

b) Cho $j: [-\delta ,1 +\delta ]\times \mathbf{B}_{n-1}\rightarrow \mathbf{R}^n$ là một ánh xạ đơn ánh liên tục. Với mọi $t\in [0,1]$, đặt $A_t=j([t,1]\times \{0\})$. Chứng minh rằng, với mọi $t\in ]0,1[$, các không gian con $A_0$ và $A_t$ là đẳng luân.

c) Cho P là một tập con của $\mathbf{R}^n$ đồng phôi với $[0,1]$ là hợp của một họ hữu hạn các đoạn. Chứng minh rằng P đẳng luân với một đoạn.