Exercice 30, § 5

Soit $v= (v_1, . . . , v_n):\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}^n$ une application de classe $C^1$ et soit $\delta$ un nombre réel $>0$ ; on fait les hypothèses suivantes :

– Le support de $v$ est contenu dans $[-\delta ,1 +\delta ]\times \mathring{\mathbf{B}}_{n-1}$;

– Pour tout $x\in [0,1-\delta [$, on a $v_1(x,0, . . . ,0)>0$, et $v_1(1,0, . . . ,0) = 0$;

– Pour tout $x\in [0,1]$, on a $v_2(x,0, . . . ,0) =\cdots =v_n(x,0, . . . ,0) = 0$. Soit $\Phi :\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}^n$ le flot intégral de l’application $(x, t)\mapsto v(x)$ (VAR, 9.1.3) ; pour $t\in \mathbf{R}$, on note $\Phi_t$ l’application $x\mapsto \Phi (x, t)$.

a) Démontrer qu’il existe un nombre réel $\tau$ tel que $\Phi_{\tau}([0,1]\times \{0\})\subset [1-$ $\delta ,1]\times \{0\}$.

b) Soit $j: [-\delta ,1 +\delta ]\times \mathbf{B}_{n-1}\rightarrow \mathbf{R}^n$ une application continue injective. Pour tout $t\in [0,1]$, on pose $A_t=j([t,1]\times \{0\})$. Démontrer que, pour tout $t\in ]0,1[$, les sous-espaces $A_0$ et $A_t$ sont isotopes.

c) Soit P une partie de $\mathbf{R}^n$ homéomorphe à $[0,1]$ qui est la réunion d’une famille finie de segments. Démontrer que P est isotope à un segment.