Bài tập 31, § 5

Cho $f= (f_1, . . . , f_n):\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^n$ là một ánh xạ lớp $C^1$ sao cho $f'(t)= 0\not$ với mọi $t\in \mathbf{I}$.

(a) Giả sử rằng $f'_1(t)>0$ với mọi $t\in \mathbf{I}$. Với mọi $j\in$ $\{2, . . . , n\}$, chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $g_j:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ sao cho $f_j(x) =g_j(f_1(x))$ với mọi $x\in \mathbf{I}$. Suy ra rằng $f(\mathbf{I})$ là đẳng vị với một đoạn. (b) Chứng minh rằng tồn tại một số thực $\delta >0$ và một ánh xạ liên tục đơn ánh $j: [-\delta ,1 +\delta ]\times \mathbf{B}_{n-1}\rightarrow \mathbf{R}^n$ sao cho $j(t,0) =f(t)$ với mọi $t\in \mathbf{I}$. Suy ra từ Bài tập 30 rằng, với mọi $\tau \in [0,1[$, tập hợp $f(\mathbf{I})$ là đẳng vị với $f([\tau ,1])$.

(c) Chứng minh rằng $f(\mathbf{I})$ là đẳng vị với một đoạn.