Exercice 31, § 5

Soit $f= (f_1, . . . , f_n):\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^n$ une application de classe $C^1$ telle que $f'(t)= 0\not$ pour tout $t\in \mathbf{I}$.

a) On fait l’hypothèse que $f'_1(t)>0$ pour tout $t\in \mathbf{I}$. Pour tout $j\in$ $\{2, . . . , n\}$, démontrer qu’il existe une application continue $g_j:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ telle que $f_j(x) =g_j(f_1(x))$ pour tout $x\in \mathbf{I}$. En déduire que $f(\mathbf{I})$ est isotope à un segment. b) Démontrer qu’il existe un nombre réel $\delta >0$ et une application continue injective $j: [-\delta ,1 +\delta ]\times \mathbf{B}_{n-1}\rightarrow \mathbf{R}^n$ telle que $j(t,0) =f(t)$ pour tout $t\in \mathbf{I}$. Déduire de l’exercice 30 que, pour tout $\tau \in [0,1[$, l’ensemble $f(\mathbf{I})$ est isotope à $f([\tau ,1])$.

c) Démontrer que $f(\mathbf{I})$ est isotope à un segment.