Bài tập 32, § 5

Cho A là một tập con đóng của $\mathbf{R}^3$ đồng phôi với $[0,1]$. Các đầu mút của A là hai điểm $p$ của A sao cho A$-\{p\}$ là liên thông (x. III, p. 280, Định lý 2); các điểm khác của A sẽ được gọi là điểm trong.

Cho $p$ là một điểm của A; ta nói rằng A là ôn hòa tại $p$ nếu tồn tại một lân cận V của $p$ trong $\mathbf{R}^3$ và một đồng phôi của V lên quả cầu đơn vị của $\mathbf{R}^3$ biến $A\cap V$ thành một đoạn thẳng.

a) Cho $p$ là một điểm của A sao cho A là ôn hòa tại $p$. Cho $(V_n)$ là một dãy giảm các lân cận của $p$ trong $\mathbf{R}^3$ sao cho $\bigcap_nV_n=\{p\}$; với mọi $n$, lấy $a_n$ là một điểm của $V_n-$ A và ký hiệu bởi $j_n:\pi_1(V_n-A, a)\rightarrow \pi_1(V_1-A, a)$ đồng cấu nhóm suy ra từ đơn ánh của $V_n$ vào $V_1$. Nếu $p$ là một đầu mút của A (tương ứng, một điểm trong), hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $m$ sao cho với mọi số nguyên $n\geqslant m$, ảnh của đồng cấu $j_n$ chỉ còn phần tử đơn vị (tương ứng, là Abel).

b) Giả sử rằng A là ôn hòa tại mọi điểm. Hãy chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi của $\mathbf{R}^3$ lên chính nó biến A thành một đoạn thẳng. Suy ra rằng $\mathbf{R}^3-$ A là liên thông và liên thông đơn bởi cung.