Exercice 32, § 5

Soit A une partie fermée de $\mathbf{R}^3$ homéomorphe à $[0,1]$. Les extrémités de A sont les deux points $p$ de A tels que A$-\{p\}$ soit connexe (cf. III, p. 280, th. 2) ; les autres points de A seront dits intérieurs.

Soit $p$ un point de A ; on dit que A est modéré en $p$ s’il existe un voisinage V de $p$ dans $\mathbf{R}^3$ et un homéomorphisme de V sur la boule unité de $\mathbf{R}^3$ qui applique $A\cap V$ sur un segment.

a) Soit $p$ un point de A tel que A soit modéré en $p$. Soit $(V_n)$ une suite décroissante de voisinages de $p$ dans $\mathbf{R}^3$ telle que $\bigcap_nV_n=\{p\}$; pour tout $n$, soit $a_n$ un point de $V_n-$ A et notons $j_n:\pi_1(V_n-A, a)\rightarrow \pi_1(V_1-A, a)$ l’homomorphisme de groupes déduit de l’injection de $V_n$ dans $V_1$. Si $p$ est une extrémité de A (resp. un point intérieur), démontrer qu’il existe un entier $m$ tel que pour tout entier $n\geqslant m$, l’image de l’homomorphisme $j_n$ soit réduite à l’élément neutre (resp. soit abélienne).

b) On suppose que A est modéré en tout point. Démontrer qu’il existe un homéomorphisme de $\mathbf{R}^3$ sur lui-même qui applique A sur un segment. En déduire que $\mathbf{R}^3-$ A est connexe et simplement connexe par arcs.