Bài tập 8, § 6

Cho X là một không gian tôpô paracompact và S(X) là treo của nó (I, p. 149, Bài tập 1); ký hiệu bởi $p: X\times [0,1]\rightarrow S(X)$ toàn cấu chính tắc. Gọi $a$ là một điểm của X.

a) Cho G là một nhóm tôpô và E là một không gian sợi chính với nhóm G và cơ sở S(X). Chứng minh rằng hạn chế của E lên không gian con $p(X\times [0,1/2])$ thừa nhận một tiết diện liên tục $s_0$, và hạn chế của E lên không gian con $p(X\times [1/2,1])$ thừa nhận một tiết diện liên tục $s_1$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ duy nhất $f: X\rightarrow$ G sao cho $s_1(x) =s_0(x)\cdot f(x)$ với mọi $x\in X$.

c) Chứng minh rằng lớp đồng luân ngặt trong $[(X, a); (G, e)]$ của ánh xạ có điểm gốc $x\mapsto f(x)f(a)^{-1}$ không phụ thuộc vào lựa chọn các tiết diện $s_0$ và $s_1$; nó được ký hiệu bởi $c(E)$.

d) Chứng minh rằng hai không gian sợi chính E và $E'$, có cơ sở S(X) và nhóm G, là đẳng cấu khi và chỉ khi $c(E) =c(E')$.

e) Chứng minh rằng, với mọi lớp $c\in [(X, a); (G, e)$, tồn tại một không gian sợi chính E, có cơ sở S(X) và nhóm G, sao cho $c(E) =c$.