Exercice 8, § 6

Soit X un espace topologique paracompact et soit S(X) sa suspension (I, p. 149, exerc. 1) ; on note $p: X\times [0,1]\rightarrow S(X)$ la surjection canonique. Soit $a$ un point de X.

a) Soit G un groupe topologique et soit E un espace fibré principal de groupe G et de base S(X). Démontrer que la restriction de E au sous-espace $p(X\times [0,1/2])$ admet une section continue $s_0$, et que la restriction de E au sous-espace $p(X\times [1/2,1])$ admet une section continue $s_1$.

b) Démontrer qu’il existe une unique application $f: X\rightarrow$ G telle que $s_1(x) =s_0(x)\cdot f(x)$ pour tout $x\in X$.

c) Démontrer que la classe d’homotopie stricte dans $[(X, a); (G, e)]$ de l’application pointée $x\mapsto f(x)f(a)^{-1}$ ne dépend pas du choix des sections $s_0$ et $s_1$; on la note $c(E)$.

d) Démontrer que deux espaces fibrés principaux E et $E'$, de base S(X) et de groupe G, sont isomorphes si et seulement si $c(E) =c(E')$.

e) Démontrer que, pour toute classe $c\in [(X, a); (G, e)$, il existe un espace fibré principal E, de base S(X) et de groupe G, tel que $c(E) =c$.