Bài tập 7, § 5

Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô khác rỗng và $f : X \to Y$ là một ánh xạ toàn ánh. Chứng minh rằng $f$ là đóng khi và chỉ khi ánh xạ $y \to (f^{-1}y)$ của $Y$ vào $\mathfrak{P}_0(X)$ là liên tục khi $\mathfrak{P}_0(X)$ mang tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) (§ 2, bài tập 7).

Suy ra rằng tôpô cảm sinh trên tập thương $X/R$ của một không gian tôpô $X$ khác rỗng bởi tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) trùng với thương của tôpô của $X$ theo $R$ khi và chỉ khi $R$ là đóng (tương ứng mở) (xem § 3, bài tập 16).