Exercice 7, § 5

Soient $X$, $Y$ deux espaces topologiques non vides, $f : X \to Y$ une application surjective.

Pour que $f$ soit fermée (resp. ouverte), il faut et il suffit que l’application $y \mapsto f^{-1}(y)$ de $Y$ dans $\mathfrak{P}_0(X)$ soit continue lorsqu’on munit $\mathfrak{P}_0(X)$ de la topologie $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. $\mathscr{T}_\Phi$) (I, p. 91, exerc. 7).

En déduire que, pour que la topologie induite sur un ensemble quotient $X/R$ d’un espace topologique non vide $X$ par la topologie $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. $\mathscr{T}_\Phi$) soit identique à la topologie quotient de celle de $X$ par $R$, il faut et il suffit que la relation $R$ soit fermée (resp. ouverte) (cf. I, p. 94, exerc. 16).