Bài tập 7, § 7

Một tập con $A$ của một không gian tôpô $X$ được gọi là nguyên thủy nếu nó là tập hợp các điểm giới hạn của một siêu lọc trên $X$. Ký hiệu $\Upsilon_A$ là tập hợp các siêu lọc trên $X$ mà tập hợp các điểm giới hạn của chúng là $A$.

a) Nếu $A$ là một tập con nguyên thủy của $X$, hãy chứng minh rằng mọi tập con mở của $X$ giao với $A$ đều thuộc mọi siêu lọc $U \in \Upsilon_A$.

b) Cho $A, B$ là hai tập con nguyên thủy phân biệt của $X$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một siêu lọc $U \in \Upsilon_A$, một siêu lọc $\mathfrak{B} \in \Upsilon_B$ và một tập con $M$ của $X$ sao cho $M \in U$ và $\complement M \in \mathfrak{B}$.

c) Cho $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Hãy chứng minh rằng ảnh qua $f$ của mọi tập con nguyên thủy của $X$ được chứa trong một tập con nguyên thủy của $Y$.

d) Nếu $x \in X$ và $\{x\}$ là đóng trong $X$, hãy chứng minh rằng $\{x\}$ là một tập con nguyên thủy của $X$.