Exercice 7, § 7

Dans un espace topologique $X$, on appelle ensemble primitif toute partie $A$ de $X$ qui est l’ensemble des points limites d’un ultrafiltre sur $X$. On désigne alors par $\Upsilon_A$ l’ensemble des ultrafiltres ayant $A$ pour ensemble de points limites. a) Si $A$ est un ensemble primitif dans $X$, montrer que toute partie ouverte qui rencontre $A$ appartient à tous les ultrafiltres $\mathfrak{U} \in \Upsilon_A$. b) Soient $A$ et $B$ deux ensembles primitifs distincts dans $X$. Montrer qu’il existe un ultrafiltre $\mathfrak{U} \in \Upsilon_A$, un ultrafiltre $\mathfrak{V} \in \Upsilon_B$, et une partie $M$ de $X$ tels que $M \in \mathfrak{U}$ et $\complement M \in \mathfrak{V}$. c) Soit $f : X \to Y$ une application continue. Montrer que l’image par $f$ de tout ensemble primitif de $X$ est contenue dans un ensemble primitif de $Y$. d) Pour tout point $x \in X$ tel que $\{x\}$ soit fermé dans $X$, $\{x\}$ est un ensemble primitif de $X$.