Bài tập 24, § 8

Trong khoảng $]0,1[$ của đường hữu tỉ, cho $A$ là tập hợp các số hữu tỉ có dạng $k/2^n$, và $B$ là tập hợp các số hữu tỉ có dạng $k/3^n$ ($k$ là một số nguyên). Cho $X$ là không gian thu được bằng cách trang bị cho $]0,1[$ tôpô sinh bởi các khoảng mở $]\alpha,\beta[$ được chứa trong $X$, và các tập hợp $A$ và $B$. Chứng minh rằng $X$ là Hausdorff và nửa chính quy (Bài tập 20) nhưng không chính quy.

§ 25 a) Trên một tập hợp $X$, tập hợp các tôpô chính quy và tập hợp các tôpô chính quy không có điểm cô lập là các tập hợp quy nạp đối với quan hệ "“$\mathfrak{T}$ mịn hơn $\mathfrak{T}'$".

b) Một tôpô $\mathfrak{T}$ trên một tập hợp $X$ được gọi là siêu chính quy nếu nó là cực đại trong tập hợp các tôpô trên $X$ chính quy và không có điểm cô lập; do đó, với mọi tôpô chính quy trên $X$ không có điểm cô lập, tồn tại một tôpô siêu chính quy mịn hơn. Một không gian được gọi là siêu chính quy nếu tôpô của nó là siêu chính quy. Chứng minh rằng một tôpô chính quy $\mathfrak{T}$ không có điểm cô lập là siêu chính quy khi và chỉ khi, bất cứ khi nào $A$ và $B$ là các tập con bù nhau của $X$ không có điểm cô lập, thì $A$ và $B$ là các tập mở. Đặc biệt, một không gian siêu chính quy không giải được ($§ 2$, Bài tập 11). (Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, hãy nhận thấy rằng nếu $\mathfrak{T}'$ là một tôpô chính quy không có điểm cô lập và mịn hơn $\mathfrak{T}$, và nếu $U$ là một tập mở khác rỗng đối với $\mathfrak{T}'$ và $\overline{U}$ là bao đóng của nó trong tôpô $\mathfrak{T}'$, thì $\overline{U}$ và $X - \overline{U}$ không có điểm cô lập đối với tôpô $\mathfrak{T}'$).

c) Trong một không gian siêu chính quy, bao đóng của mọi tập hợp không có điểm cô lập là mở, và phần trong của một tập hợp trù mật là trù mật; do đó giao của hai tập hợp trù mật là trù mật. Suy ra rằng nếu $\mathfrak{T}_0$ là một tôpô siêu chính quy, thì trong tất cả các tôpô $\mathfrak{T}$ sao cho $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ (Bài tập 20), có một tôpô (nhất thiết là dưới cực đại) mịn hơn tất cả các tôpô khác.

\* 26) Cho $(\theta_n)$ là một dãy các số vô tỉ trù mật trong khoảng $I = [0, 1]$ của $\mathbf{R}$. Cho $I_n$ là không gian thương của $I$ thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm $0, \theta_1, \ldots, \theta_n$, và cho $\varphi_n$ là ánh xạ chính tắc $I \to I_n$. Cho $X$ là tập hợp các số hữu tỉ được chứa trong $I$; khi đó hạn chế của $\varphi_n$ trên $X$ là một song ánh của $X$ lên $\varphi_n(X)$. Cho $\mathfrak{T}_n$ là ảnh ngược qua song ánh này của tôpô cảm sinh trên $\varphi_n(X)$ bởi tôpô của $I_n$. Chứng minh rằng cận dưới lớn nhất của dãy giảm $(\mathfrak{T}_n)$ các tôpô Hausdorff trên $X$ không phải là một tôpô Hausdorff.*

¶ 27) Cho $X$ là một không gian tôpô. Chứng minh rằng tồn tại một không gian Kolmogoroff (tương ứng, tiếp cận được, Hausdorff, chính quy) $Y$ và một ánh xạ liên tục $\varphi : X \to Y$ có tính chất phổ quát sau: với mọi ánh xạ liên tục $f : X \to Z$ của $X$ vào một không gian Kolmogoroff (tương ứng, tiếp cận được, Hausdorff, chính quy) $Z$, tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục $g : Y \to Z$ sao cho $f = g \circ \varphi$ (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 3, no. 1). Chứng minh rằng:

a) Đối với các không gian Kolmogoroff, ta có thể lấy $Y$ là không gian thương của $X$ theo quan hệ tương đương $\{ \bar{x} \} = \{ \bar{y} \}$.

b) Đối với các không gian tiếp cận được, ta có thể lấy $Y$ là không gian thương của $X$ theo quan hệ tương đương $R$ sau đây: đồ thị của $R$ là giao của tất cả các đồ thị $G$ của các quan hệ tương đương trên $X$ sao cho $G(x)$ là đóng trong $x$ với mỗi $x \in X$; đồ thị của $R$ khi đó chứa đồ thị của quan hệ $\{ \bar{x} \} \cap \{ \bar{y} \} \neq \emptyset$ giữa $x$ và $y$.

c) Đối với các không gian Hausdorff và các không gian chính quy, chứng minh rằng các điều kiện (CU_I) đến (CU_{III}) của Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 3, no. 2, được thỏa mãn, bằng cách sử dụng đặc biệt Bài tập 6 a). Cho các ví dụ trong đó $X$ không chính quy và ánh xạ $\varphi : X \to Y$ của $X$ vào không gian chính quy phổ quát tương ứng là song ánh [xem Bài tập 20 b)].

d) Nếu $X$ là một không gian tôpô thỏa mãn tiên đề $(O_{III})$, chứng minh rằng không gian Kolmogoroff phổ quát tương ứng với $X$ là đồng phôi một cách chính tắc với không gian chính quy phổ quát tương ứng với $X$.

28) Cho $X$ là một không gian Hausdorff không chính quy, cho $F$ là một tập con đóng của $X$ và cho $a \notin F$ là một điểm của $X$ sao cho mọi lân cận của $a$ giao với mọi lân cận của $F$. Cho $R$ là quan hệ tương đương trên $X$ nhận được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của $F$. Chứng minh rằng $R$ là đóng và đồ thị của $R$ là đóng trong $X \times X$, nhưng $R$ không là Hausdorff.

¶ 29) a) Cho $R$ là một quan hệ tương đương Hausdorff trên một không gian tôpô không rỗng $X$, và cho $\mathfrak{F}(X)$ là không gian các tập con đóng không rỗng của $X$, với tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$ (Bài tập 12). Chứng minh rằng mọi $A \in \mathfrak{F}(X)$ nằm trong bao đóng của $X/R$ [được xem như một tập con của $\mathfrak{F}(X)$] đều được chứa trong một lớp tương đương nào đó của $R$ (sử dụng phản chứng).

b) Giả sử thêm rằng $X$ là chính quy và $R$ là mở. Chứng minh rằng khi đó $X/R$ là một tập con đóng của $\mathfrak{F}(X)$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$ (sử dụng Mệnh đề 11 của § 7, no. 6).