Bài tập 16, § 9

b) Đối với mọi ánh xạ liên tục $f$ từ một không gian Lindelöf X vào một không gian tôpô X’, không gian con $f(X)$ của X’ là một không gian Lindelöf.

c) Mọi không gian là một hợp đếm được của các không gian con Lindelöf đều là một không gian Lindelöf. Đặc biệt, mọi không gian đếm được đều là một không gian Lindelöf.

d) Để một không gian Lindelöf X là tựa compact, chỉ cần rằng mọi dãy các điểm của X đều nhận một giá trị bám (bây giờ chứng minh rằng tiên đề (C'') khi đó được thỏa mãn).

e) Trong một không gian Lindelöf khả tiếp cận X, một không gian con rời rạc đóng nhất thiết là đếm được, và, a fortiori, X thỏa mãn điều kiện (D_v) của I, p. 90, bài tập 7.

¶ 16) a) Cho X là một không gian trong đó mọi không gian con mở đều là một không gian Lindelöf. Chứng minh rằng X thỏa mãn điều kiện (D_{III}) của bài tập 7 của I, p. 90; nếu X là chính quy, mọi tập con đóng của X là một giao đếm được của các tập mở (xem I, p. 109, bài tập 24 c)).

b) Cho X là một không gian trong đó mọi không gian con mở đều là paracompact. Để mọi không gian con mở của X là một không gian Lindelöf, điều kiện cần và đủ là X thỏa mãn điều kiện (D_{III}) của bài tập 7 của I, p. 90.

c) Để một không gian compact X có tính chất mọi không gian con mở của X là một không gian Lindelöf, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn điều kiện (D_{III}) của bài tập 7 của I, p. 90, và mọi tập con đóng của X là một giao đếm được của các tập mở (dùng b) và Định lý 5 của I, p. 70).