Bài tập 18, § 9

Trong một không gian tôpô X, người ta nói rằng một điểm $a$ là hoàn toàn dính với một tập con A của X nếu với mọi lân cận U của $a$, ta có $\mathrm{Card}(A) = \mathrm{Card}(A \cap U)$. Bây giờ chứng minh rằng để X là gần compact, điều kiện cần và đủ là với mọi tập con vô hạn A của X, tồn tại một điểm hoàn toàn dính với A. (Nếu X không là gần compact, chứng minh rằng tồn tại một số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$ (E, III, p. 87, exerc. 10) và một phủ mở $(U_\xi)$ của X, trong đó $\xi$ chạy qua tập hợp các số thứ tự $< \omega_\alpha$, sao cho với mỗi chỉ số $\xi < \omega_\alpha$, phần bù $A_\xi$ trong X của hợp của các $U_n$ có chỉ số $\eta < \xi$ có một lực lượng bằng $\aleph_\alpha$; suy ra rằng ta có thể định nghĩa bằng quy nạp siêu hạn một họ $(x_\xi)$ ($\xi < \omega_\alpha$) các điểm của X sao cho $x_\xi \in A_\xi$ với mọi $\xi$ và $x_\xi \neq x_\eta$ với $\eta < \xi$.)