Bài tập 15, § 4

Cho $X$ là một không gian compact. Khi đó không gian $\mathfrak{F}(X)$ gồm các tập con đóng không rỗng của $X$, với tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}(\tilde{U})$ (Bài tập 11), là compact (Chương I, § 9, Bài tập 13). Xét một siêu lọc $\Psi$ trên $\mathfrak{F}(X)$, và giả sử rằng với mỗi entourage $V$ của cấu trúc đồng nhất của $X$, và mỗi $x \in \Psi'$, tồn tại $M \in \mathfrak{X}$ sao cho hai điểm bất kỳ của $M$ có thể được nối với nhau bởi một chuỗi V được chứa trong $M$. Chứng minh rằng điểm giới hạn $A$ của $\Psi'$ trong $\mathfrak{F}(X)$ là một tập con liên thông của $X$ (sử dụng Mệnh đề 6 của no. 4).