Exercice 15, § 4

Soit X un espace compact; l’espace $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides, muni de la topologie induite par $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ (II, p. 37, exerc. 11) est alors compact (I, p. 106, exerc. 14). On considère un ultrafiltre $\Psi$ sur l’espace $\mathfrak{F}(X)$ et on suppose que pour tout entourage $V$ de la structure uniforme de $X$, et tout $\mathfrak{X} \in \Psi$, il existe $M \in \mathfrak{X}$ tel que deux points quelconques de $M$ puissent être joints par une $V$-chaîne contenue dans $M$. Montrer que le point limite $A$ de $\Psi$ dans $\mathfrak{F}(X)$ est une partie connexe de $X$ (appliquer la prop. 6 de II, p. 32).